Geometría

GEOMETRÍA

ÍNDICE:

1. El triángulo

2. Lugares geométricos

3. Movimientos en el plano

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

5. La esfera y el globo terráqueo

6. Bibliografía

1. El triángulo

Se pueden clasificar de distintas maneras: por sus ángulos y por sus lados.

- Según sus lados:

Isósceles

Tiene dos lados iguales y uno desigual

Equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).

ESCALENO

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

-Según sus ángulos:

Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto (90º). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º); los otros dos son agudos (menor de 90º).

Acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a (90º): el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo

• Incentro: centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma. 

•   Baricentro: punto de intersección de las medianas de dicho triángulo.

•  Circuncentro: punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

• Ortocentro: punto de intersección de las tres alturas del triángulo.

1.3   El teorema de Pitágoras

 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

              

   c² = a² + b²

2. Lugares Geométricos

2.1. ¿Qué es un lugar geométrico?

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

2.2. La mediatriz y la bisectriz

Mediatriz 

 Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.

Bisectriz

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.

2.3 Las cónicas

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

2.3.2 La circunferencia

Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

2.3.3 La elipse:

Obtención en un cono: si el plano es perpendicular al eje del cono, en ese caso el elipse es una circunferencia.

 Método del jardinero: este metodo sirve para hacer un elipse en el suelo esta constituido por una tecnica sintética en la que  se coloca un hilo que queda fijado a los extremos. Manteniendo el hilo tenso procederemos a dibujar un elipse sin destensar el hilo.

 Mesa de billar elíptica esta mesa consiste en el conjuntos de todods los puntos de un plano cuya suma de sustancias a dos puntos fijos es una constante.

     


                                                           

2.3.4. La hipérbola

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

3. Movimientos en el plano

3.1. Las translaciones, ¿qué es un vector?

En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado

3.2 Ejercicios de vectores y translación

  3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar: 

 

                 a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas

                 b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo

         c) las componentes de los vectores anteriores

                               d) el módulo de cada uno de los vectores

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

3.3 Giros
                  3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella

3.4 Simetría.

 3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:

 a) dibujar el triángulo 

b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)

 c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX 

Funciones

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?

Mediante un gráfico o una función, ya que no tienen relación entre sí. 

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos: 

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ). 

 Puede ser representadas como:

Gráfico cartesiano:

El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:

El eje horizontal recibe el nombre de eje X o abcisas.

El eje vertical recibe el nombre Y o de ordenadas.

En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el 0.

Diagrama de Venn:

Tablas

Funciones en fórmulas

Un ejemplo de una función en la vida cotidiana es por ejemplo lo que tarda la llama una vela en consumirse, el precio de un objeto, el crecimiento de las personas en la población...

Por ejemplo, el crecimiento de una flor. 

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder. 

Es la cociente entre lo que varia la `y` y lo que varia la `x` entre dos puntos de la función. 

 x : y, si el resultado es alto, significa que la función asciende muy rápido y si es bajo significa que la función asciende despacio.  Si el resultado es negativo significa que la función es descendente, y, por lo tanto, si el resultado es positivo la función asciende.

4.Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.

Los máximos y los mínimos de una función son los puntos más altos y bajos respectivamente.

• Máximo absoluto:es el punto más alto de la función.

• Mínimo absoluto:es el punto más bajo de la función.

• Máximo relativo:es el segundo punto más alto de la función.

• Mínimo relativo:es el segundo punto más bajo de la función.

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.








7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? 

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función? 

El concepto de función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x pero en 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término por primera vez para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.Pero recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet, quien definió a una variable como: Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas. 

 a) Función lineal creciente ( rosa clarito )

 b) Función lineal constante (

 c) Función lineal decreciente (

 d) Rectas paralelas ( paralelas lilas )

 e) Función cuadrática cóncava (línea roja)

 f) Función cuadrática convexa (línea azul oscura)

 g) Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones 

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

11.Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x, y, z).